直接开平方公式「专家解答」

直接开平方公式「专家解答」

第一次与你邂逅应该在初一，那时的你是这副模样：x²=4——单纯而美好，一瞬间我走进了你的视线，带着"平方根"的甜言蜜语，轻而易举就俘获了你的"心"(根)——x=±2，，到了初三我才知道原来你有一个那么率真的名字——"直接开平方"，再次相遇，是否还如初见般美好？

一、直接开平方法——平方根

适用于已形成完全平方式的情况

【理论基础】平方根的性质

正数有两个平方根，它们互为相反数

0的平方根是0

负数没有平方根

我们再来看一般情况：

注：上述解法，正好与平方根的性质相对应，如通过观察我们发现“当p≥0时，方程有实根”与“非负数才有平方根”也是相对应的，请同学们认真体会。至于当p=0时，为什么不说方程有一个实根，而说成有两个相等实根，初学时可能会有疑问，我们会在学完所有解法之后再做解释。

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参照上面的结论，我们再来求下面的方程：

【练习】

（1）9x²-5=3

（2）3(x-1)²-6=0

（3）x²-4x+4=5

（4）9x²+4=0

<参考答案>

（1）±2√2/3

（2）1±√2

（3）2±√5

（4）无实根

【理解】

1、在利用直接开平方法时，要注意左边一定要先化为一个完全平方的形式，也就是通过变形，得到x²=p或(x+n)²=p的形式，注意要把x²和(x+n)²前面的系数化为1之后再开平方；

2、在学习一元二次方程时，我们会经常碰到方程无实根的情况，如【练习】中的（4）这是在学习一元一次方程时不太常见的，需要同学们多留心；

3、对于ax²+c=0或a(x+n)²+c=0，我们会发现当a、c异号时，方程才有实数根

二、配方法——"一切为了开方"

对于一元二次方程x²+6x+3=0，我们能否化成x²=p或(x＋m)²=p的形式？

观察发现：对于x²+6x+3=0，左边有二次项、一次项，我们只需要想办法利用等式性质，在两边加上一个数，使得左边能配成一个完全平方式即可

移项得，x²+6x=-3

方程两边都加上一次项系数一半的平方即9得，x²+6x+9=-3+9

于是，得到：(x+3)²=6

这样就转化成了可以直接开方的形式

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而对于一元二次方程2x²-4x-3=0，由于其二次项系数不为1，所以需要处理，即多一个步骤——"系数化为1"

移项得，2x²-4x=3

系数化为1得：x²-2x=3/2

【配方法求解的一般步骤】：

①移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项

②将二次项系数化为1；

③方程两边都加上一次项系数一半的平方；

④原方程变为(x＋m)²=p的形式；

⑤直接开平方，得到两个一元一次方程

⑥求解

【练习】

（1）x²-8x+1=0

（2）2x²+1=3x

（3）3x²-6x+4=0

<参考答案>

（1）4±√15

（2）1或1/2

（3）无实根

【理解】

1、利用配方法的前提是将二次项系数化为1（这是准备工作）；

2、利用配方法的关键步骤自然是配方，其方法是：方程两边同加一次项系数一半的平方（这是关键点）；

3、通过开平方实现降次的目的，进而把一元二次方程转化为一元一次方程来求解

【课后练习】

请同学尝试利用配方法解关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)

很赞哦！(14)