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矩阵e是什么「精华」

知识网2022年04月30日 11:13原创

网友提问:

矩阵e是什么「精华」

优质回答:

矩阵AB=E(E单位矩阵)能得到什么结论呢?

可以得到以下几个结论:

结论1:R(A)=R(B)=R(E),即A,B,E的秩相等;

结论2:A是行满秩矩阵,B是列满秩矩阵;

结论3:A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关。

注:这里比较容易出错的是:认为AB=E是可逆的定义,进而A,B是互逆的矩阵,所以它们秩相等;其实不然,因为这里A,B不一定是方阵,从而就不能用逆矩阵来解释。

正确的解答如下:

要使得AB=E,则根据矩阵乘法的定义,可假设A是n×m型,B是m×n型,这时E是n阶单位矩阵;

由矩阵秩的两个性质(两个矩阵乘积的秩小于等于最小的一个矩阵的秩;矩阵的秩小于等于矩阵行数和列数最小的一个):n=R(E)=R(AB)≤R(A)(≤R(B)≤n)≤n,所以得到:R(A)=R(B)=R(E);

同时也得到:A是行满秩矩阵,B是列满秩矩阵;

另外,根据矩阵是行(列)满秩等价于矩阵的行(列)向量组线性无关,得到:A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关。

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